Задача о взаимодействии ударной волны с вихрем (SVI problem)

Модифицированная постановка (Modified formulation)

В базовой постановке задачи с «привязкой» системы координат к положению ударной волны в начальный момент времени ударная волна остается плоской и неподвижной до начала взаимодействия с вихрем; затем ее фронт искривляется, совершая медленное перемещение по расчетной области. Известно, что при расчете такого рода течений методы сквозного счета демонстрируют повышенный уровень «численных артефактов» – низкочастотных возмущений потока за ударной волной (проблема расчета медленно движущейся ударной волны; см., например, [11, 12] и раздел 3.4 в [9]). Для устранения этой проблемы задачу можно решать в системе координат, «привязанной» к фоновому потоку перед ударной волной. В такой модифицированной постановке задача SVI формулируется следующим образом.

В расчетной области [–0.5, 1.5] × [0, 1] задается суперпозиция покоящегося газа (u_x1 = u_y1 = 0) с параметрами ρ₁ = p₁ = 1 и вихря с центром в точке (x_V, y_V) = (1, 0.5); параметры вихря описаны в базовой постановке задачи. На верхней, нижней и левой границах области задается условие симметрии течения, а на правой границе задается сверхзвуковой втекающий поток с параметрами

u_x2 = –20⋅(1.4)^0.5/9,   u_y2 = 0,   ρ₂ = 27/7,   p₂ = 31/3.

Задача рассчитывается до момента времени t = t₁ = 0.5⋅(1.4)^–0.5, когда ударная волна номинально (без учета влияния вихря) приходит в сечение x = 0.

По аналогии с базовой постановкой, для устранения начальных ошибок («start-up errors») в процессе расчета выполняется следующая однократная коррекция: в момент времени t = t₁/6 в ячейках, расположенных в области x > 1.28, задаются параметры втекающего потока.

Точное решение задачи SVI в модифицированной постановке соответствует ее точному решению в базовой постановке за исключением продольной составляющей скорости u_x, значения которой отличаются на величину 3⋅(1.4)^0.5. Поэтому, получив решение задачи в модифицированной постановке и сделав указанную поправку продольной составляющей скорости, мы получим решение, соответствующее базовой постановке задачи.