Задача о взаимодействии ударной волны с вихрем (SVI problem)

Эталонное численное решение (Reference numerical solution)

Для получения эталонного численного решения была использована модифицированная постановка задачи SVI. Расчет проводился по схеме HR-MC+ [9] с методом искусственной вязкости AV [8] на равномерной декартовой сетке, состоящей из квадратных ячеек размера h×h, где h = 1/N = 1/7200, с постоянным шагом по времени, характеризующимся числом Куранта CFL = 0.9. В финальный момент времени t₁ = 0.5⋅(1.4)^–0.5 для подобласти [–0.1, 1] × [0, 1] был произведен экспорт координат узлов сетки и полей u_x, u_y, ρ и p в бинарном формате. Ниже приведены визуализация эталонного численного решения, ссылки для скачивания соответствующих файлов и рекомендации по проведению cравнительного анализа расчетных данных. Этапы эволюции течения на интервале t ∈ [0, t₁] проиллюстрированы и описаны в отдельной презентации.

Численная шлирен-визуализация	Поле завихренности ω = ∂uy/∂x – ∂ux/∂y

Экспортированные данные

Бинарный файл, содержащий эталонное численное решение для подобласти [–0.1, 1] × [0, 1] (соответствующая подсетка состоит из 7920×7200 ячеек) был записан с использованием стандартных функций языка Fortran.

Наиболее подробное описание формата указанного файла содержится в исходом коде вспомогательной Fortran-программы, позволяющей в целях упрощения визуализации перенести эталонное численное решение на более грубую декартову сетку, заданную в подобласти [⁠–⁠0.1, 0.9] × [0, 1] и состоящую из квадратных ячеек размера 3h×3h (данная сетка содержит 2400×2400 ячеек). Перенос полей течения осуществляется с учетом законов сохранения массы, импульса и энергии. Значения скорости u_x дополнительно корректируются на величину 3⋅(1.4)^0.5 для обеспечения соответствия базовой постановке задачи. Результатом работы вспомогательной программы является ASCII-файл в формате Tecplot, содержащий координаты центров ячеек и поля u_x, u_y, ρ и p.

На основе данного ASCII-файла при помощи небольшой Fortran-программы можно получить дополнительный ASCII-файл в формате Tecplot, содержащий шлирен-визуализацию и поле завихренности для внутренних узлов сетки (2399×2399 узлов). 

Рекомендуемые параметры для оценки точности численных решений

• Уровень численных артефактов за фронтом основной ударной волны (например, сравнение с эталонным решением по профилю плотности в сечении x = 0.02);
• Отличие от эталонного решения по плотности в норме L² (например, для подобласти Ω [0.24, 0.4] × [0.46, 0.62] с использованием формулы ε = { ∑_i∑_j(ρ_ij – ρ_ij,ref)² / [(i₂–i₁+1)(j₂–j₁+1)] }^0.5/ρ₂ ⋅ 100%, где ρ_ij и ρ_ij,ref – средние по ячейке ij значения плотности для рассматриваемого и эталонного численных решений, i₁ и i₂ – минимальный и максимальный индексы по оси x в подобласти Ω, j₁ и j₂ – минимальный и максимальный индексы по оси y в подобласти Ω, ρ₂ – значение плотности невозмущенного потока за фронтом ударной волны);
• Минимальное и максимальное значения завихренности ω (например, в подобласти Ω) в сравнении с соответствующими значениями, вычисленными на основе эталонного решения;
• Интегральные значения компонент энстропии E^– = 0.25⋅∫(ω–|ω|)²dxdy и E⁺ = 0.25⋅∫(ω+|ω|)²dxdy (интегрирование производится по некоторой подобласти, например Ω; E = ∫ω²dxdy = E^– + E⁺) в сравнении с соответствующими значениями, вычисленными на основе эталонного решения.

Пример cравнительного анализа численных решений, полученных для базовой постановки задачи SVI при помощи некоторых схем типа Годунова на равномерных декартовых сетках, состоящих из квадратных ячеек размера h×h, где h = 1/N и N = 200, 300, 400, 600, 800, 1200 и 1600, приведен в [13].